\fuxiti
\begin{xiaotis}
\begin{enhancedline}

\xiaoti{$\triangle ABC$ 中， $AB = AC$， $AD$ 为 $BC$ 边上的高， $AD$ 的中点为 $M$，
    $CM$ 的延长线交 $AB$ 于点 $K$。 求证： $AB = 3AK$。
}

\xiaoti{已知： $\triangle ABC$ 中， $AB = 15$， $AC = 20$， 高 $AD = 12$。求角平分线 $AE$ 的长。}

\xiaoti{$O$ 为四边形 $ABCD$ 的对角线 $AC$ 的中点。 $OE$、$OF$、$OG$、$OH$ 分别是
    $\angle AOB$、$\angle BOC$、$\angle COD$、$\angle DOA$ 的平分线，
    且分別和 $AB$、$BC$、$CD$、$DA$ 交于点 $E$、$F$、$G$、$H$。
    求证： $EF \pingxing GH$。
}

\xiaoti{$\triangle ABC$ 中，角平分线 $AD$、$BE$ 交于点 $I$。
    求证; $\dfrac{AI}{ID} = \dfrac{AB + AC}{BC}$。
}

\xiaoti{$\pxsbx ABCD$ 中， $\angle DAB$ 的平分线交 $BD$ 于点 $P$。
    $\angle ADC$ 的平分线交 $CA$ 于点 $Q$。 求证： $PQ \pingxing DA$。
}

\xiaoti{射击瞄准时，要求枪的标尺缺口上沿中央 $A$、准星尖 $B$ 和瞄准点 $C$ 在一条直线上（上图），这样才能命中目标。
    已知某种冲锋枪基线 $AB$ 长 $38.5\;\limi$（下图），如果射击距离  $AC = 100\;\mi$，
    当准星尖在缺口内偏差 $BB'$ 为 $1\;\haomi$ 时，弹着偏差 $CC'$ 是多少（ $BB' \pingxing CC'$）？
}

\begin{figure}[htbp]
    \centering
    \begin{minipage}[b]{7cm}
        \centering
        \includegraphics[width=6cm]{../pic/czjh2-ch6-fuxi-06.png}
        \caption*{（第 6 题）}
    \end{minipage}
    \qquad
    \begin{minipage}[b]{7cm}
        \centering
        \input{../pic/czjh2-ch6-fuxi-10}
        \caption*{（第 10 题）}
    \end{minipage}
\end{figure}


\xiaoti{在 $\triangle ABC$（$AB > AC$）的边 $AB$ 上取一点 $D$， 在边 $AC$ 上取一点 $E$，
    使 $AD = AE$， 直线 $DE$ 和 $BC$ 的延长线交于点 $P$。
    求证： $BP:CP = BD:CE$。（提示：经过点 $C$ 作 $AB$ 的平行线。）
}

\xiaoti{已知： $\triangle ABC$ 中，中线 $BE$ 与角平分线 $AD$ 交于点 $K$， $BL \pingxing KC$，
    交 $AC$ 的延长线于点 $L$。求证：$LC = AB$。
}

\xiaoti{过 $\triangle ABC$ 的顶点 $C$ 任作一直线， 与边 $AB$ 及中线 $AD$ 分别交于点 $F$ 及 $E$。\\
    求证： $AE:ED = 2 AF:FB$。
}

\xiaoti{如图， $BD = CE$。 求证： $AC \cdot EF = AB \cdot DF$。}

\xiaoti{一直线和梯形 $ABCD$ 的底 $AD$ 平行，和 $AB$、$BD$、$AC$、$CD$ 分别交于点 $E$、$F$、$G$、$H$。求证： $EF = GH$。}

\xiaoti{$Rt \triangle ABC$ 中有正方形 $DEFG$，点 $D$、$G$ 分别在 $AB$、$AC$ 上，$EF$ 在斜边 $BC$ 上。求证：$EF^2 = BE \cdot FC$。}

\xiaoti{已知：如图，$\triangle PQR$ 是等边三角形，$\angle APB = 120^\circ$。求证：}
\begin{xiaoxiaotis}

    \xxt{$\triangle PAQ \xiangsi \triangle BPR$；}

    \xxt{$AQ \cdot RB = QR^2$。}

\end{xiaoxiaotis}

\begin{figure}[htbp]
    \centering
    \begin{minipage}[b]{7cm}
        \centering
        \input{../pic/czjh2-ch6-fuxi-13}
        \caption*{（第 13 题）}
    \end{minipage}
    \qquad
    \begin{minipage}[b]{7cm}
        \centering
        \input{../pic/czjh2-ch6-fuxi-14}
        \caption*{（第 14 题）}
    \end{minipage}
\end{figure}

\xiaoti{已知：$D$、$E$ 是 $\triangle ABC$ 的边 $BC$ 上的两点，且 $\angle BAD = \angle C$，
    $\angle DAE = \angle EAC$。求证： $\dfrac{BD}{BA} = \dfrac{DE}{EC}$。
}

\xiaoti{$AD$ 为 $\triangle ABC$（$AB > AC$）的角平分线， $AD$ 的垂直平分线和 $BC$ 的延长线交于点 $E$。
    求证：$DE^2 = BE \cdot CE$。
}

\xiaoti{已知：$\triangle ABC$ 中， $\angle C$ 是直角， $CD$ 是高， $AE$ 是角平分线。
    求证：$\dfrac{CE}{EB} = \dfrac{CD}{CB}$。
}

\xiaoti{已知：$\triangle ABC$， $AD$ 是高，且 $AD^2 = BD \cdot CD$。
    求证： $\angle BAC = 90^\circ$。
}

\xiaoti{$AH$，$A'H'$ 分别是两锐角三角形 $\triangle ABC$ 与 $\triangle A'B'C'$ 的高，
    并且  $\dfrac{AB}{A'B'} = \dfrac{BC}{B'C'} = \dfrac{AH}{A'H'}$。
    求证： $\triangle ABC \xiangsi \triangle A'B'C'$。
}

\xiaoti{$AD$、$A'D'$ 分别是 $\triangle ABC$ 和 $\triangle A'B'C'$ 的角平分线，
    并且 $\dfrac{AB}{A'B'} = \dfrac{BD}{B'D'} = \dfrac{AD}{A'D'}$。
    求证： $\triangle ABC \xiangsi \triangle A'B'C'$。
}

\xiaoti{已知：如图， $\triangle ABC$ 中， $DE \pingxing BC$， $BE$ 与 $CD$ 于点 $O$，
    $AO$ 与 $DE$、$BC$ 分别交于点 $N$、$M$。
    求证： $\dfrac{AN}{AM} = \dfrac{ON}{OM}$。
}

\begin{figure}[htbp]
    \centering
    \begin{minipage}[b]{7cm}
        \centering
        \input{../pic/czjh2-ch6-fuxi-20}
        \caption*{（第 20 题）}
    \end{minipage}
    \qquad
    \begin{minipage}[b]{7cm}
        \centering
        \input{../pic/czjh2-ch6-fuxi-21}
        \caption*{（第 21 题）}
    \end{minipage}
\end{figure}

\xiaoti{如图，四边形 $ABEG$、$GEFH$、$HFCD$ 都是边长为 $a$ 的正方形。}
\begin{xiaoxiaotis}

    \xxt{计算 $AE$、$AF$、$AC$ 的长；}

    \xxt{求证：$\triangle AEF \xiangsi \triangle CEA$；}

    \xxt{求证：$\angle AFB + \angle ACB = 45^\circ$。}

\end{xiaoxiaotis}


\xiaoti{$\triangle ABC$ 与 $\triangle DEF$ 中， $\angle A = \angle D$，$\angle B = \angle E$，
    $AB = EF$， $BC = DF$， 这两个三角形相似吗？全等吗？设 $AB = 1$， $BC = 1.1$，
    找出符合条件的两个三角形的边长。
}

\xiaoti{\footnotemark 如图，正方形城邑 $DEFG$ 的四面正中各有城门，出北门 20 步的 $A$ 处（$HA = 20$ 步）有一树木，
    出南门 14 步到 $C$ 处（$KC = 14$ 步）， 再向西行 1775 步到B处（$CB = 1775$ 步），
    正好看到 $A$ 处的树木（点 $D$ 在直线 $AB$ 上）。求城邑的边长 $x$（$FG = x$）。
}
\footnotetext{本题是我国古代数学书《九章算术》中“勾股”章的第二十题。
    原文是：“今有邑不知大小，各中开门，出北门二十步有木，
    出南门十四步折而西行一千七百七十五步见木，问邑方几何。”
}

\begin{figure}[htbp]
    \centering
    \begin{minipage}[b]{7cm}
        \centering
        \input{../pic/czjh2-ch6-fuxi-23}
        \caption*{（第 23 题）}
    \end{minipage}
    \qquad
    \begin{minipage}[b]{7cm}
        \centering
        \input{../pic/czjh2-ch6-fuxi-24}
        \caption*{（第 24 题）}
    \end{minipage}
\end{figure}

\xiaoti{\footnotemark 为了求出海岛上的山峰 $AB$ 的高度， 在 $D$ 和 $F$ 处树立标杆 $DC$ 和 $FE$，
    标杆的高都是 3 丈，相隔 1000 步（ 1 步等于 5 尺），并且 $AB$、$CD$ 和 $EF$ 在同一平面内，
    从标杆 $DC$ 退后 123 步的 $G$ 处，可看到山峰 $A$ 和标杆顶端 $C$ 在一直线上；
    从标杆 $FE$ 退后 127 步的 $H$ 处，可看到山峰 $A$ 和标杆顶端 $E$ 在一直线上。
    求山峰的高度 $AB$ 及它和标杆 $CD$ 的水平距离 $BD$ 各是多少？\\
    （提示：连结 $EC$ 井延长交 $AB$ 于点 $K$， 用 $AK$ 表示 $KC$ 及 $KE$。）
}
\footnotetext{本题是我国魏晋时数学家刘徽所著《海岛算经》中九个代表性数学问题的第一题。
    原文是：“今有望海岛，立两表齐高三丈，前后相去千步，今后表与前表参相直，
    从前表却行一百二十三步，人目着地取望岛峰与表末参合，
    从后表却行一百二十七步，人目着地取望岛峰亦与表末参合。
    问岛高及去表各几何。”
}

\xiaoti{已知：正方形 $ABCD$， $E$ 是 $AB$ 的中点， $F$ 是 $AD$ 上的一点，
    且 $AF = \exdfrac{1}{4} AD$，$EG \perp CF$， 垂足为 $G$。
    求证： $EG^2 = CG \cdot FG$。
}

\begin{withstar}
\xiaoti{作一个等边三角形，使它的三个顶点分別在 $\triangle ABC$ 的三边上，
    并且有一边和 $BC$ 平行。
}
\end{withstar}

\end{enhancedline}
\end{xiaotis}

